Notasi Sigma - Pengertian, Sifat dan Contoh Soal

Apa itu sigma/notasi sigma?

Mungkin kita sering atau pernah mendengar istilah sigma/notasi sigma, namun tidak tau apa arti dari istilah tersebut. Untuk itu, pada materi kali ini kita akan membahas tentang apa itu sigma/notasi sigma, bagaimana cara mengubah bentuk penjumlahan kedalam bentuk sigma, bagaimana cara mengubah bentuk sigma ke dalam bentuk penjumlahan, dan bagaimana cara mudah serta cara cepat mengerjakan soal-soal tetang notasi sigma.

Notasi sigma merupakan salah satu materi yang dibahas pada mata pelajaran matematika kelas XI. Notasi sigma digunakan untuk menulis jumlah dari suatu barisan bilangan secara lebih singkat dengan menggunakan simbol $https://latex.codecogs.com/svg.image?\tiny \sum$ (baca sigma), yaitu salah satu huruf kapital Yunani, yang artinya jumlah.

Misalnya:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small 1+2+3+4+5+6+7+8+9$

Dengan menggunakan notasi sigma maka penjumlahan di atas dapat dinyatakan dengan lebih singkat sebagai berikut,

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \sum_{k=1}^{9} k$
Cara membacanya, "jumlah k untuk k=1 sampai dengan k=9", dimana k=1 merupakan batas bawah dan k=9 merupakan batas atas. Dengan kata lain, nilai k bergerak mulai dari k=1, k=2, k=3 dan seterusnya, sampai dengan k=9.

Bentuk umum:

Berikut ini adalah sifat-sifat notasi sigma:

1. $\sum_{i=1}^{n} u_i = u_1 + u_2 + u_3 + \cdots + u_n$

2. $\sum_{i=1}^{n} u_i = \sum_{j=1}^{n} u_j$

3. $\sum_{i=1}^{n} C = nC$ , dimana C merupakan suatu konstanta.

4. $\sum_{i=1}^{n} C u_i = C \sum_{i=1}^{n} u_i$ , dimana C merupakan konstanta.

5. $\sum_{i=1}^{n}\left (u_i \pm v_i \right ) = \sum_{i=1}^{n} u_i \pm \sum_{i=1}^{n} v_i$

6. $\sum_{i=1}^{n}\left (u_i + v_i \right )^2 = \sum_{i=1}^{n} u_i^2 + 2\sum_{i=1}^{n} u_i v_i + \sum_{i=1}^{n} v_i^2$

7. $\sum_{i=1}^{n} u_i + \sum_{i=n+1}^{m} u_i = \sum_{i=1}^{m} u_i$

8. $\sum_{i=1}^{n} u_i = \sum_{i=0}^{n-1} u_{i+1} = \sum_{i=2}^{n+1} u_{i-1}$

Agar lebih paham dengan materi tentang sigma/notasi sigma ini, mari perhatikan beberapa contoh berikut:

1. Ubah penjumlahan berikut kedalam bentuk notasi sigma:

a. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}$

Jawaban:

Setiap suku penjumlahan tersebut dapat kita nyatakan dalam bentuk $k^{2}$ untuk $k=1,2,3,4,5,6$ . Sehingga dapat kita tulis sebagai berikut,

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2} = \sum_{k=1}^{6} k^2$

b. $1+3+5+\cdots +21$

Jawaban:

Untuk menjawab soal ini, pertama kita harus menentukan bentuk fungsinya terlebih dahulu dengan menggunakan rumus deret aritmetika, caranya sebagai berikut:

$a + (k-1)b = 1 + (k-1)2$ ( $a$ merupakan suku pertama dan $b$ merupakan beda/selisih dari suku yang berdekatan)

$= 1 + 2k-2$

$=2k-1$

Sehingga bentuk fungsi sigma-nya adalah $\sum 2k-1$ .

Selanjutnya kita akan menentukan batas bawah dan batas atasnya, dengan menggunakan suku pertama dan suku terakhir dari penjumlahan.

Untuk batas bawah:

Untuk batas atas:

Maka kita peroleh batas bawahnya k=1 dan batas atasnya k=11, sehingga bentuk sigma dari penjumlahan di atas adalah

Bagaimana? Sudah bisa mengubah bentuk penjumlahan kedalam bentuk notasi sigma? Sekarang bagaimana jika seandainya yang diketahui itu adalah bentuk notasi sigma-nya dan kita diminta untuk mengubahnya kedalam bentuk penjumlahan dan menentukan hasilnya.

Selanjutnya kita akan membahas bagaimana cara mengubah bentuk notasi sigma ke dalam bentuk penjumlahan biasa. Perhatikan contoh berikut:

Nyatakan notasi $\sum_{k=1}^{3} k^2 + 2k-1$ kedalam bentuk penjumlahan dan tentukan hasilnya!

Jawaban:

Sampai disini pembahasan kita tentang notasi sigma, semoga dapat mudah dipahami. Jika ada pertanyaan, kritik dan saran silahkan tulis di komentar🙏🙏.

Sumber: Noormandiri, B.K. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI. Erlangga. Jakarta. 2017.

Notasi Sigma - Pengertian, Sifat dan Contoh Soal

6 Responses to "Notasi Sigma - Pengertian, Sifat dan Contoh Soal"