Barisan dan Deret Geometri - Pengertian, Rumus dan Contoh Soal

Apa itu barisan dan deret geometri?

Agar kita dapat menjawab pertanyaan di atas mari simak penjelasan berikut.

Barisan Geometri

Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan-bilangan di mana pengali atau rasio di antaa dua suku yang berurutan merupakan bilangan yang tetap. Rasio pada barisan geometri biasanya disimbolkan dengan r. Agar lebih jelasnya perhatikan barisan berikut.

2, 6, 18, 54, ...

Dari barisan tersebut, dapat kita lihat bahwa antara barisan pertama dan barisan kedua, barisan kedua dan barisan ketiga, dan seterusnya selalu punya pengali atau rasio yang tetap, yaitu 3.

Untuk menentukan rasio dari suatu barisan geometri dapat ditentukan dengan rumus berikut.

$r=\frac{U_n}{U_{n-1}}$ ,

dimana,

$r$ = rasio

$U_n$ = suku ke-n

$U_{n-1}$ = suku ke-(n-1)

Rumus umum barisan geometri untuk menentukan suku ke-n adalah

$U_n=ar^{n-1}$

dimana,

$U_n$ = suku ke-n

$a$ = suku pertama

$r$ = rasio

$n$ = jumlah atau banyaknya suku.

Agar lebih paham dengan penggunaan rumus diatas, mari perhatikan contoh-contoh berikut.

1. Tentukan suku ketujuh dari barisan geometri $9,3,1,\frac{1}{3},...$ .

Jawab.

Diketahui:

$a=9$

$r = \frac{1}{3}$

$n=7$

Sehingga,

$U_n=ar^{n-1}$

$U_7=9 \left( \frac{1}{3} \right )^{7-1}$

$=9 \left( \frac{1}{3} \right )^{6}$

$=9 \left( \frac{1}{729} \right )$

$=\frac{1}{81}$

Jadi, suku ketujuh dari barisan tersebut adalah $\frac{1}{81}$ .

2. Tentukan banyaknya suku pada barisan geometri $81,27,9,..., \frac{1}{81}$ .

Jawab.

Diketahui:

$a=81$

$r=\frac{27}{81}=\frac{1}{3}$

$U_n=\frac{1}{81}$

Sehingga,

$ar^{n-1}=\frac{1}{81}$

$81\left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}=\frac{1}{81}$

$\left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}=\frac{1}{81.81}$

$\left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}=\left( \frac{1}{3} \right)^{8}$ ,

maka

$n-1=8 \Rightarrow n=9$ .

Jadi, banyaknya suku deret tersebut adalah 9.

Deret Geometri

Seperti pada deret aritmetika, jika kita memiliki barisan geometri maka dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yang disebut deret geometri.

Rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri adalah

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r};$ untuk $r< 1$

atau

$S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1};$ untuk $r> 1$ ,

dimana

$S_n$ = jumlah n suku pertama

$a$ = suku pertama

$r$ = rasio

$n$ = jumlah atau banyaknya suku.

Agar lebih paham dengan penggunaan rumus diatas, mari perhatikan contoh-contoh berikut.

1. Hitunglah jumlah 6 suku pertama deret geometri $\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{9}{2}+...$ .

Jawab.

Diketeahui:

$a=\frac{1}{2}$

$r=3$

$n=7$

Oleh karena $r=3>1$ , maka kita gunakan rumus $S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$ .

$S_6=\frac{\frac{1}{2}(3^6-1)}{3-1}$

$=\frac{\frac{1}{2}(729-1)}{2}$

$=\frac{728}{4}$

$=182$

Jadi, jumlah 6 suku pertama dari deret tersebut adalah 182.

2. Tentukan jumlah deret geometri $48+12+3+...+\frac{3}{16}$ .

Jawab.

Diketahui:

$a=48$

$r=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}$

$U_n=\frac{3}{16}$

Pertama, kita harus cari dulu nilai n-nya.

$ar^{n-1}=\frac{3}{16}$

$48 \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}=\frac{3}{16}$

$\left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}=\frac{3}{48.16}$

$\left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}=\frac{1}{16.16}$

$\left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}=\frac{1}{4^2.4^2}$

$\left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}=\frac{1}{4^4}$

$\left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}=\left( \frac{1}{4} \right)^{4}$

Sehingga,

$n-1=4 \Rightarrow n=5$ .

Selanutnya akan kita tentukan $S_5$ . Oleh karena $r=\frac{1}{4}<1$ , gunakan rumus $S_n=\frac{a(1- r^n)}{1-r}$ .

$S_5=\frac{48(1- (\frac{1}{4})^5)}{1-\frac{1}{4}}$

$=\frac{48(1- \frac{1}{1024})}{\frac{3}{4}}$

$=\frac{48(\frac{1023}{1024})}{\frac{3}{4}}$

$=64\left(\frac{1023}{1024}\right)$

$=\frac{1023}{16}$

$=63\frac{15}{16}$ .

Jadi, jumlah deret tersebut adalah $63\frac{15}{16}$ .

Sekian pembahasan kita tentang barisan dan deret geometri, semoga dapat dipahami dengan baik.

Sumber: Berbagai sumber.