Induksi Matematika - Pengertian, Langkah-langkah, dan Contoh Soal

Pada materi kali ini kita akan membahas tentang Induksi Matematika. Induksi Matematika adalah materi yang dipelajari di kelas 11 pada kurikulum merdeka. Induksi Matematika adalah salah satu cara untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan.

Mari kita perhatikan gambar di atas, gambar di atas menunjukkan domino-domino yang disusun dengan jarak yang sama. Apabila domino pertama dijatuhkan dan menimpa domino ke-2, maka domino ke-2 juga akan jatuh dan menimpa domino ke-3, dan seterusnya, sehingga semua domino akan jatuh.

Kita misalkan pernyataan P(k) adalah "domino ke-k jatuh". Untuk membuktikan semua domino akan jatuh maka harus ditunjukkan dua hal berikut:

1. Langkah Basis.

Tunjukkan bahwa kota pertama jatuh, P(1) benar.

2. Langkah Induksi

Tunjukkan bahwa jika kota ke-k jatuh [P(k) benar], maka kotak ke-(k+1) juga jatuh [P(k+1) benar].

Pada materi kali ini akan dibahas beberapa jenis soal yang dapat dibuktikan dengan menggunakan Induksi Matematika, yaitu pernyataan matematis berupa barisan, berupa pertaksamaan, dan berupa keterbagian.

Okeee... Bagaimana? Sudah mulai mengerti dengan materi Induksi Matematika?

Agar lebih mengerti dan lebih paham, selanjutnya kita akan membahas beberapa contoh soal tentang Induksi Matematika ini.

a. Pernyataan matematis berupa barisan

Contoh 1. Buktikan bahwa $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$ untuk bilangan asli $n\geqslant 1$ .

Bukti:

Misalkan $P(n):1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$ .

Untuk membuktikan dengan induksi matematika, maka harus ditunjukkan dua hal berikut.

1) Langkah basis.

Akan ditunjukkan bahwa P(1) benar.

Perhatikan bahwa

Karena P(1) benar, maka kita lanjutkan ke langkah berikutnya.

2) Langkah Induksi.

Anggap bahwa P(k) benar untuk k bilangan asli, ini artinya $P(k):1+3+5+\cdots +(2k-1)=k^2$ .

Selanjutnya, akan kita tunjukkan bahwa P(k+1) benar.

Perhatikan bahwa

Dari hasil di atas dapat kita ketahui bahwa P(k+1) benar.

Sehingga, karena P(1) benar, P(k) benar, dan P(k+1) juga benar, maka terbukti bahwa pernyataan benar.

Contoh 2. Buktikan bahwa $1+2+3+\cdots +n=\frac{1}{2}n(n+1)$ .

Bukti.

Misalkan $P(n):1+2+3+\cdots +n=\frac{1}{2}n(n+1)$ .

1) Langkah basis.

Akan ditunjukkan bahwa P(1) benar.

Perhatikan bahwa

Karena P(1) benar, maka kita lanjutkan ke langkah berikutnya.

2) Langkah Induksi.

Anggap bahwa P(k) benar untuk k bilangan asli, ini artinya $P(k):1+2+3+\cdots +k=\frac{1}{2}k(+1)$ .

Selanjutnya, akan kita tunjukkan bahwa P(k+1) benar.

Perhatikan bahwa

Dari hasil di atas dapat kita ketahui bahwa P(k+1) benar.

Sehingga, karena P(1) benar, P(k) benar, dan P(k+1) juga benar, maka terbukti bahwa pernyataan benar.

b. Pernyataan matematis berupa pertaksamaan

Contoh 3. Buktikan $n< 3^n$ untuk setiap n bilangan asli.

Bukti:

Misalkan $P(n):n< 3^n, n \in \mathbb{N}$

1) Langkah basis.

Untuk n=1, maka $1< 3^1$ , sehingga P(1) benar.

2) Langkah induksi.

Anggap P(k) benar, artinya $P(k):k< 3^k, k \in \mathbb{N}$ benar.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ adalah benar.

Artinya kita akan menunjukkan bahwa $k+1< 3^{k+1}$ .

Perhatikan bahwa

Dari hasil di atas maka diperoleh bahwa P(k+1) benar.

Dapat disimpulkan karena P(1) benar, P(k) benar dan P(k+1) juga benar, maka terbukti bahwa $P(n):n< 3^n, n \in\mathbb{N}$ benar.

Contoh 4. Buktikan bahwa $n^2\geq 2n+7$ untuk setiap bilangan asli $n\geq 4$ .

Bukti:

Misalkan $P(n):n^2\geq 2n+7$ .

1) Langkah basis.

Untuk $n=4$ maka $4^2\geq 2.4+7\Leftrightarrow 16\geq 15$ . (benar)

2) Langkah induksi.

Anggap P(k) benar, artinya $P(k):k^2\geq 2k+7, k \in \mathbb{N}$ benar.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ adalah benar.

Artinya kita akan menunjukkan bahwa $(k+1)^2\geq 2(k+1)+7$ .

Perhatikan bahwa

Dari hasil di atas maka diperoleh bahwa P(k+1) benar.

Dapat kita simpulkan karena P(1) benar, P(k) benar dan P(k+1) juga benar, maka terbukti bahwa $P(n):n^2\geq 2n+7$ benar.

c. Pernyataan matematis berupa keterbagian

Selanjutnya kita akan membahas soal pernyataan matematis berupa keterbagian. Langsung saja ita masuk ke contoh soal.

Contoh 5. Buktikan bahwa $4^{n+1}-4$ habis dibagi oleh 12.

Bukti:

Misalkan $P(n):4^{n+1}-4$ habis dibagi 12.

1) Langkah basis.

Untuk n=1 maka $P(1):4^{1+1}-4=4^2-4=16-4=12$ habis dibagi 12. (benar)

2) Langkah induksi.

Kita anggap bahwa P(k) benar, itu artinya $P(k):4^{k+1}- 4$ habis dibagi 12.

Sekarang akan kita tunjukkan bahwa P(k+1) benar, yaitu $4^{(k+1)+1}-4$ habis dibagi 12.

Perhatikan bahwa

Berdasarkan hasil di atas, karena $12.4^k$ habis dibagi 12 dan $4^{k+1}-4$ habis dibagi 12, maka $12.4^k+4^{k+1}-4$ habis dibagi 12. Sehingga kita peroleh $4^{(k+1)+1}-4$ juga habis dibagi 12. Artinya P(k+1) benar.

Dapat kita simpulkan karena P(1) benar, P(k) benar dan P(k+1) juga benar, maka terbukti bahwa $P(n):4^{n+1}-4$ habis dibagi 12 benar.

Agar lebih paham mari kita lanjut bahas contoh berikutnya.

Contoh 6. Buktikan bahwa $2^{2n}-1$ habis dibagi oleh 3.

Bukti:

Misalkan $P(n):2^{2n}-1$ habis dibagi 3.

1) Langkah basis.

Untuk n=1 maka $P(1):2^{2.1}-1=4-1=3$ habis dibagi 12. (benar)

2) Langkah induksi.

Kita anggap bahwa P(k) benar, itu artinya $P(k):2^{2k}-1$ habis dibagi 3.

Sekarang akan kita tunjukkan bahwa P(k+1) benar, yaitu $2^{2(k+1)}-1$ habis dibagi 3.

Perhatikan bahwa

Berdasarkan hasil di atas, karena $3.2^{2k}$ habis dibagi 3 dan $2^{2k}-1$ habis dibagi 3, maka $3.2^{2k}+2^{2k}-1$ habis dibagi 3. Sehingga kita peroleh $2^{2(k+1)}-1$ juga habis dibagi 3. Artinya P(k+1) benar.

Dapat kita simpulkan karena P(1) benar, P(k) benar dan P(k+1) juga benar, maka terbukti bahwa $P(n):2^{2n}-1$ habis dibagi 3 benar.

Sampai disini pembahasan kita tentang induksi matematika, semoga dapat mudah dipahami. Jika ada pertanyaan, kritik dan saran silahkan tulis di komentar🙏🙏.

Sumber: Noormandiri, B.K. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI. Erlangga. Jakarta. 2017.

Induksi Matematika - Pengertian, Langkah-langkah, dan Contoh Soal

0 Response to "Induksi Matematika - Pengertian, Langkah-langkah, dan Contoh Soal"

Posting Komentar