Pada materi kali ini kita akan membahas tentang Induksi Matematika. Induksi Matematika adalah materi yang dipelajari di kelas 11 pada kurikulum merdeka. Induksi Matematika adalah salah satu cara untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan.
Mari kita perhatikan gambar di atas, gambar di atas menunjukkan domino-domino yang disusun dengan jarak yang sama. Apabila domino pertama dijatuhkan dan menimpa domino ke-2, maka domino ke-2 juga akan jatuh dan menimpa domino ke-3, dan seterusnya, sehingga semua domino akan jatuh.
Kita misalkan pernyataan P(k) adalah "domino ke-k jatuh". Untuk membuktikan semua domino akan jatuh maka harus ditunjukkan dua hal berikut:
1. Langkah Basis.
Tunjukkan bahwa kota pertama jatuh, P(1) benar.
2. Langkah Induksi
Tunjukkan bahwa jika kota ke-k jatuh [P(k) benar], maka kotak ke-(k+1) juga jatuh [P(k+1) benar].
Pada materi kali ini akan dibahas beberapa jenis soal yang dapat dibuktikan dengan menggunakan Induksi Matematika, yaitu pernyataan matematis berupa barisan, berupa pertaksamaan, dan berupa keterbagian.
Okeee... Bagaimana? Sudah mulai mengerti dengan materi Induksi Matematika?
Agar lebih mengerti dan lebih paham, selanjutnya kita akan membahas beberapa contoh soal tentang Induksi Matematika ini.
a. Pernyataan matematis berupa barisan
Contoh 1. Buktikan bahwa =n^2)
untuk bilangan asli 
.
Bukti:
Misalkan :1+3+5+\cdots%20+(2n-1)=n^2)
.
Untuk membuktikan dengan induksi matematika, maka harus ditunjukkan dua hal berikut.
1) Langkah basis.
Akan ditunjukkan bahwa P(1) benar.
Perhatikan bahwa
Karena P(1) benar, maka kita lanjutkan ke langkah berikutnya.
2) Langkah Induksi.
Anggap bahwa P(
k) benar untuk
k bilangan asli, ini artinya
:1+3+5+\cdots%20+(2k-1)=k^2)
.
Selanjutnya, akan kita tunjukkan bahwa P(k+1) benar.
Perhatikan bahwa
Dari hasil di atas dapat kita ketahui bahwa P(k+1) benar.
Sehingga, karena P(1) benar, P(k) benar, dan P(k+1) juga benar, maka terbukti bahwa pernyataan benar.
Contoh 2. Buktikan bahwa
)
.
Bukti.
Misalkan
:1+2+3+\cdots%20+n=\frac{1}{2}n(n+1))
.
1) Langkah basis.
Akan ditunjukkan bahwa P(1) benar.
Perhatikan bahwa
Karena P(1) benar, maka kita lanjutkan ke langkah berikutnya.
2) Langkah Induksi.
Anggap bahwa P(
k) benar untuk
k bilangan asli, ini artinya
:1+2+3+\cdots%20+k=\frac{1}{2}k(+1))
.
Selanjutnya, akan kita tunjukkan bahwa P(k+1) benar.
Perhatikan bahwa
Dari hasil di atas dapat kita ketahui bahwa P(k+1) benar.
Sehingga, karena P(1) benar, P(k) benar, dan P(k+1) juga benar, maka terbukti bahwa pernyataan benar.
b. Pernyataan matematis berupa pertaksamaan
Contoh 3. Buktikan
untuk setiap
n bilangan asli.
Bukti:
Misalkan
:n%3C%203^n,%20n%20\in%20\mathbb{N})
1) Langkah basis.
Untuk
n=1, maka
, sehingga P(1)
benar.
2) Langkah induksi.
Anggap P(
k) benar, artinya
:k%3C%203^k,%20k%20\in%20\mathbb{N})
benar.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
)
adalah benar.
Artinya kita akan menunjukkan bahwa
.
Perhatikan bahwa
Dari hasil di atas maka diperoleh bahwa P(k+1) benar.
Dapat disimpulkan karena
P(1) benar,
P(k) benar dan
P(k+1) juga benar, maka
terbukti bahwa
:n%3C%203^n,%20n%20\in\mathbb{N})
benar.
Contoh 4. Buktikan bahwa 
untuk setiap bilangan asli 
.
Bukti:
Misalkan
:n^2\geq%202n+7)
.
1) Langkah basis.
Untuk
maka
.
(benar)2) Langkah induksi.
Anggap P(
k) benar, artinya
:k^2\geq%202k+7,%20k%20\in%20\mathbb{N})
benar.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
adalah benar.
Artinya kita akan menunjukkan bahwa
^2\geq%202(k+1)+7)
.
Perhatikan bahwa
Dari hasil di atas maka diperoleh bahwa P(k+1) benar.
Dapat kita simpulkan karena
P(1) benar,
P(k) benar dan
P(k+1) juga benar, maka
terbukti bahwa
benar.
c. Pernyataan matematis berupa keterbagian
Selanjutnya kita akan membahas soal pernyataan matematis berupa keterbagian. Langsung saja ita masuk ke contoh soal.
Contoh 5. Buktikan bahwa 
habis dibagi oleh 12.
Bukti:
Misalkan
:4^{n+1}-4)
habis dibagi 12.
1) Langkah basis.
Untuk n=1 maka :4^{1+1}-4=4^2-4=16-4=12)
habis dibagi 12. (benar)
2) Langkah induksi.
Kita anggap bahwa
P(k) benar, itu artinya
:4^{k+1}-%204)
habis dibagi 12.
Sekarang akan kita tunjukkan bahwa
P(k+1) benar, yaitu
+1}-4)
habis dibagi 12.
Perhatikan bahwa
Berdasarkan hasil di atas, karena
habis dibagi 12 dan
habis dibagi 12, maka
habis dibagi 12. Sehingga kita peroleh
juga habis dibagi 12. Artinya
P(k+1) benar.
Dapat kita simpulkan karena P(1) benar, P(k) benar dan P(k+1) juga benar, maka terbukti bahwa habis dibagi 12 benar.
Agar lebih paham mari kita lanjut bahas contoh berikutnya.
Contoh 6. Buktikan bahwa 
habis dibagi oleh 3.
Bukti:
Misalkan
:2^{2n}-1)
habis dibagi 3.
1) Langkah basis.
Untuk n=1 maka :2^{2.1}-1=4-1=3)
habis dibagi 12. (benar)
2) Langkah induksi.
Kita anggap bahwa
P(k) benar, itu artinya
:2^{2k}-1)
habis dibagi 3.
Sekarang akan kita tunjukkan bahwa
P(k+1) benar, yaitu
}-1)
habis dibagi 3.
Perhatikan bahwa
Berdasarkan hasil di atas, karena
habis dibagi 3 dan
habis dibagi 3, maka
habis dibagi 3. Sehingga kita peroleh
juga habis dibagi 3. Artinya
P(k+1) benar.
Dapat kita simpulkan karena P(1) benar, P(k) benar dan P(k+1) juga benar, maka terbukti bahwa habis dibagi 3 benar.
Sampai disini pembahasan kita tentang induksi matematika, semoga dapat mudah dipahami. Jika ada pertanyaan, kritik dan saran silahkan tulis di komentar🙏🙏.
Sumber: Noormandiri, B.K. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI. Erlangga. Jakarta. 2017.
0 Response to "Induksi Matematika - Pengertian, Langkah-langkah, dan Contoh Soal"
Posting Komentar