Barisan dan Deret Aritmetika - Pengertian, Rumus dan Contoh Soal

Pada pembahasan kali ini kita khusus akan membahas tentang barisan dan deret aritmetika. Namun, sebelum kita mempelajari barisan dan deret aritmetika, tentu kita harus tau dulu apa itu aritmetika? Aritmetika merupakan bagian dari matematika yang mempelajari tentang operasi dasar bilangan (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian).

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan atau urutan bilangan-bilangan dimana beda (selisih) di antara dua suku berurutan merupakan bilangan tetap. Contohnya, perhatikan barisan berikut, 1, 4, 7, 10, 13, 16, dan seterusnya. Jika kita perhatikan, beda atau seslisih dari setiap suku pada barisan tersebut selalu sama atau tetap, yaitu 3.

Rumus umum barisan aritmetika untuk suku ke-n adalah

$U_{n} = a+(n-1)b$ ,

dimana,

$U_{n}$ : suku ke-n

$a$ : suku pertama

$b$ : beda/selisih

$n$ : jumlah atau banyaknya suku.

Untuk menentukan beda atau selisih dari barisan aritmetika, maka dapat digunakan rumus berikut.

$b = U_{n} - U_{n-1}$ ,

dimana,

$b$ : beda/selisih

$U_{n}$ : suku ke-n

$U_{n-1}$ : suku ke-(n-1) atau suku sebelum suku ke-n.

Agar lebih paham penggunaan rumus diatas, mari perhatikan beberapa contoh berikut:

1. Berapakan suku ke-15 dari barisan 1, 4, 7, 10, 13, 16, ...?

Jawaban.

Diketahui bahwa:

suku pertama: $a$ = 1

beda/selisih: $b$ = 3

jumlah atau banyaknya suku: $n$ = 15.

Sekarang kita substitusikan ke dalam rumus, sehingga diperoleh

$U_{15}= a + (n-1)b$

$= 1 + (15-1)3$

$= 1 + 14.3$

$= 1 + 42$

$= 43$

Jadi, suku ke-15 dari barisan tersebut adalah 43.

2. Diberikan barisan aritmetika $\frac{4}{3}, \frac{5}{3}, 2, \frac{7}{3},...,5.$ Tentukan banyaknya suku pada barisan tersebut.

Jawab.

Diketahui bahwa:

suku pertama: $a=\frac{4}{3}$

beda/selisih: $b= \frac{5}{3}-\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$

suku ke-n: $U_{n}=5$

Sekarang kita substitusikan ke dalam rumus, sehingga diperoleh

$a+(n-1)b=5$

$\frac{3}{4}+(n-1)\frac{1}{3}=5$ (kedua ruas dikali 3)

$4+n-1=15$

$n=15-4+1$

$n=12$

Jadi, banyak suku pada barisan tesebut adalah 12 suku.

Deret Aritmetika

Dari barisan aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16,... dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurutan dari suku barisan tersebut, yaitu 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ....

Karena suku-suku yang dijumlahkan merupakan suku-suku dari barisan aritmetika, deret yang terbentuk disebut deret aritmetika.

Secara matematis rumus umum dari deret aritmetika dinyatakan sebagai berikut:

$S_{n} = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$ atau $S_{n}=\frac{n}{2}(a+U_{n})$

dimana,

$S_{n}$ : jumlah n suku pertama (maksudnya jumlahkan suku pertama samapai dengan suku ke-n)

$U_{n}$ : suku ke-n

$a$ : suku pertama

$b$ : beda/selisih

$n$ : jumlah atau banyaknya suku.

Agar lebih paham penggunaan rumus diatas, mari perhatikan beberapa contoh berikut:

1. Hitunglah jumlah 10 suku pertama dari deret 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ....

Jawab.

Diketahui bahwa:

suku pertama: $a$ = 1

beda/selisih: $b$ = 3

jumlah atau banyaknya suku: $n$ = 10.

Selanjutnya, substitusikan ke dalam rumus, sehingga

$S_{n} = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$

$S_{10}= \frac{10}{2}(2.1+(10-1)3)$

$= 5(2+9.3)$

$= 5.29$

$= 145$

Jadi, jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut adalah 145.

2. Hitunglah jumlah dari deret 3 + 8 + 13 + ... + 93.

Jawab.

Diketahui:

$a$ = 3

$b$ = 8 - 3 = 5

$U_{n}$ = 93

Kita belum tau 93 terletak di suku yang keberapa, untuk itu kita tentukan nilai n terlebih dahulu

$a+(n-1)b=U_{n}$

$3+(n-1)5=93$

$3+5n-5=93$

$5n-2=93$

$5n=93+2$

$5n=95$

$n=19$

Sehingga,

$S_{n}=\frac{n}{2}(a+U_{n})$

$S_{19}=\frac{19}{2}(3+93)$

$=\frac{19}{2}.96$

$=912$

Jadi, jumlah dari deret tersebut adalah 912.

Bagaimana? Sudah mengerti? Ternyata mudah bukan?

Sumber: dari berbagai sumber.